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Sommaire

• Introduction
• Les transformations de Galilée
• Les transformations de Lorentz
• Intervalle d'espace temps
• Contraction des longueurs
• Transformation des vitesses
• Transformation des accélérations

Introduction

À partir de la fin du moyen âge la physique d'Aristote qui prédomine depuis l'antiquité commence à s'effondrer, un long règne sans bouleversement majeur pour la science et sans progrès substantiels pour l'humanité. La physique moderne sous l'impulsion de Galilée fait son apparition et obtient très rapidement des résultats tangibles. Les observations de Kepler valident la thèse de l'univers géocentrique de Copernic, la confirmation d'une terre en mouvement autour de son étoile porte un coup d'arrêt à l'ancienne conception Aristotélicienne du mouvement. Pourtant, l'astronome Grec Aristarque de Samos avait déjà formulé au 3ème siècle avant notre ère les principales objections du système de Ptolémée, mais les préjugés religieux ont eu raison de la pertinence de ces travaux, l'humanité est passée à côté d'une révolution qui a été différée de 18 siècles. La terre semble se comporter comme un laboratoire dont le mouvement n'affecte pas les expériences qui s'y déroulent, du moins pas aussi distinctement que les Aristotéliciens le suggéraient. Ce constat empirique est conforme au principe de relativité formulé initialement par Galilée, celui-ci stipule que les lois de la physique ne doivent pas dépendre de l'état de mouvement des laboratoires lorsqu'ils sont en mouvement de translation uniforme les uns par rapport aux autres.
La formulation moderne plus générale dit "principe de covariance" ou "principe de relativité générale" affirme que les lois de la physique doivent prendre la même expression mathématique dans tous les référentiels.

Définitions et formalisme

L'apprentissage de la théorie de la relativité nécessite une bonne compréhension des concepts et du vocabulaire utilisé en physique.

• L'espace est l'ensemble des positions.
• Le temps est l'ensemble des instants.
• Un phénomène localisé dans le temps et dans l'espace est appelé un évènement, il est repéré par ses 4 coordonnées $E(x,y,z,t)$
  ($E(\vec{r}, t)$ en utilisant l'algèbre des vecteurs).
• En physique, un repère est un système de coordonnées utilisé pour repérer des évènements, il est associé à un évènement qui fixe son origine, il s'agit généralement d'un système de 3 axes munis de règles et d'horloges qui quadrillent l'espace.
• Un référentiel représente un ensemble de solides matériels et d'observateurs immobiles entre eux, un référentiel est lié à un repère.

Les transformations de Galilée

En physique pré-relativiste encore appelée physique Newtonienne où le temps est supposé universel, les coordonnées d'un évènement dépendent du référentiel utilisé pour le décrire. Si un évènement est repéré par ses coordonnées (x,y,z,t) dans un référentiel $R$, les nouvelles coordonnées évaluées dans un référentiel $R'$ en mouvement de translation rectiligne et uniforme dirigé selon l'axe (Ox) s'écrivent :

$x' = x - v t$
$y' = y$
$z' = z$
$t' = t$

ou encore sous forme matricielle :

$\begin{pmatrix} \vec{r}' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-\vec{v} \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{r} \\ t \end{pmatrix}$.

Quelques remarques

On définit deux intervalles :

• La durée est l'intervalle de temps qui sépare deux instants
• La distance est l'intervalle d'espace qui sépare deux positions

En relativité galiléenne, les durées sont absolues mais les distances dépendent du référentiel.
Soient deux positions $\vec{r_1}$ et $\vec{r_2}$, la distance entre ces deux positions est définie par la quantité $|\vec{r_2} - \vec{r_1}|$, dans un référentiel $R'$ nous avons : $|\vec{r_2'} - \vec{r_1'}| = |\vec{r_2} - \vec{r_1} - \vec{v} (t_2 - t_1)|$.

Composition des vitesses et des accélérations

Soit un mobile avec une trajectoire $\vec{r}(t)$ dans $R$, sa vitesse est définie par $\vec{u} = \frac{d}{dt}\vec{r}(t)$ et son accélération par $\vec{a} = \frac{d^2}{dt^2}\vec{r}(t)$. Dans $R'$ on a :

• $\vec{u}' = \frac{d}{dt'}\vec{r}'(t') = \frac{d}{dt}(\vec{r}(t) - \vec{v}t) = \vec{u} - \vec{v}$
• $\vec{a}' = \frac{d^2}{dt^2}(\vec{r}(t) - \vec{v} t)= \vec{a}$

La mécanique classique et les lois de l'optique

Expérience de Röemer

En 1675, en étudiant Io un satellite de Jupiter, Röemer découvrit une anomalie sur sa position apparente en fonction de l'éloignement relatif entre la terre et Jupiter. Io était est en retard d'environ 8 minutes lorsque la terre est au plus loin de Jupiter et en avance de 8 minutes lorsque la Terre est au plus près de Jupiter. Cette différence est tout simplement due au temps de propagation de la lumière entre Jupiter et la terre, sur la pase de cette hypothèse Röemer a évalué sa vitesse à 350.000 km/s ce qui correspond à un erreur de seulement 15 %.

Aberration annuelle des étoiles

Expérience de Morley-Michelson

Postulats

Les transformations de Lorentz

Les transformations de Lorentz permettent d'exprimer les coordonnées d'un évènement dans un référentiel à partir d'un autre référentiel. L'espace étant isotrope, les transformations de Lorentz doivent être invariantes si on effectue une rotation du système de coordonnées autour de l'axe de mouvement relatif $\vec{v}$ entre deux référentiels $R$ et $R'$. Ceci nous amène à simplifier le problème en décomposant le vecteur position en deux composantes totalement indépendantes :
-$\vec{r}_\|$ est la projection de $\vec{r}$ sur l'axe de translation.
-$\vec{r}_{\perp}$ est la projection $\vec{r}$ sur la direction orthogonale à l'axe de translation.
En utilisant le formalisme matriciel, nous pouvons exprimer de la façon la plus générale qui soit les transformations de Lorentz sous la forme suivante $X' = \Lambda \, X$ :
$\begin{pmatrix} \vec{r}_{\|}' \\ \vec{r}_{\perp}' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \vec{a_2} \\ 0 & a_3 & 0 \\ \vec{a_4} & 0 & a_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{r}_{\|} \\ \vec{r}_{\perp} \\ t \end{pmatrix}$
où les $a_i$ représentent des constantes qui ne dépendent que du mouvement relatif entre les deux référentiels.
On considère que l'origine spatiale des repères est confondue à l'origine des temps. Après un temps t, le référentiels R' a subi une translation de vecteur $\vec{v} t$, ce qui nous conduit à écrire :
$\vec{r_{\|}'} = a_1 ( \vec{r_{\|}} - \vec{v} t)$ ce qui implique $\vec{a_2} = - a_1 \vec{v}$.
À l'instant initial on émet de la lumière depuis l'origine confondue des repères, le front d'onde de la lumière $(\vec{r}, t)$ se propage selon l'équation :
$\vec{r}^2 - c^2 t^2 = 0$ dans le référentiel R et selon $\vec{r}'^2 - c^2 t'^2 = 0$ dans R'.
En égalisant les deux équations on obtient :
$\vec{r_{\|}}^2 + \vec{r_{\perp}}^2 - c^2 t^2 = \vec{r_{\|}}'^2 + \vec{r_{\perp}}'^2 - c^2 t'^2$.

En développant et en réarrangeant les termes on obtient le système :
$\left\{ \begin{array}{rl} a_3^2 = 1 \\ a_1^2 - a_4^2 c^2 = 1 \\ a_1^2 v^2 - a_5^2 c^2 = -c^2 \\ a1^2 \vec{v} - \vec{a_4} a_5 c^2 = 0 \end{array} \right.$.

Que l'on résout :
$\left\{ \begin{array}{rl} a_1 = a_5 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ a_3=1 \\ \vec{a_4}=\frac{\frac{\vec{v}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{array} \right.$.

En utilisant la convention $c = 1$, on obtient finalement la transformation de Lorentz :
$\begin{pmatrix} \vec{r}_{\|}' \\ \vec{r}_{\perp}' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & -\gamma \vec{v} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\gamma \vec{v} & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{r}_{\|} \\ \vec{r}_{\perp} \\ t \end{pmatrix}$,
avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \vec{v}^2}}$.

La transformation de Lorentz sous forme vectorielle :
$\vec{r}' = \vec{r}_{\perp} + \gamma (\vec{r}_\| - \vec{v} t)$
$t' = \gamma \left(t - \vec{v} \cdot \vec{r} \right)$

Les transformations de Lorentz forment un groupe, on peut aussi les appliquer pour passer de R' à R : $X = \Lambda^{-1} X'$ :
$\begin{pmatrix} \vec{r}_{\|} \\ \vec{r}_{\perp} \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & +\gamma \vec{v} \\ 0 & 1 & 0 \\ +\gamma \vec{v} & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{r}_{\|}' \\ \vec{r}_{\perp}' \\ t' \end{pmatrix}$

Remarquons que dans les transformations de Lorentz tendent vers les transformations de Galilée, dans le cas limite où $c \rightarrow \infty$.

Intervalle d'espace temps

On définit l'intervalle d'espace-temps entre deux évènements $E_1(\vec{r_1}, t_1)$ et $E_2(\vec{r_2}, t_2)$ par la quantité :
$\Delta s = \sqrt{ (t_2 - t_1)^2 - |\vec{r_2} - \vec{r_1}|^2 }$. Le carré de cet intervalle est l'équivalent relativiste du carré de la distance dans l'espace Euclidien.

L'intervalle d'espace temps est un invariant relativiste : $(\Delta s)^2 = (\Delta s')^2$, il s'agit d'un paramètre intrinsèque qui permet de quantifier le lien de causalité qui existe entre deux évènements. Selon le signe de $(\Delta s)^2$, on distingue 3 types d'intervalles :

• Intervalle de type espace : $(\Delta s)^2 < 0$
  L'espace l'emporte sur le temps, aucun lien causal ne peut exister entre 2 évènements qui sont séparés par cet intervalle, l'information n'a pas le temps de se propager.
  Exemple : l'explosion de la supernovae SN 1987A observée en 1987 s'est produite il y a 168000 ans, cet évènement est séparé de la bataille de Waterloo par un intervalle de type espace. Il n'existe donc aucun lien de cause à effet entre cet évènement cosmique et la défaite de Napoléon à Waterloo.
• Intervalle de type lumière : $(\Delta s)^2 = 0$
  Quand 2 évènements sont reliés par ce type d'intervalle la lumière a eu exactement le temps de se propager entre les deux, la lumière parcourt exactement la distance géométrique qui les sépare pendant la durée qui les sépare. Il peut exister un lien causal entre ces évènements, à condition que l'information transite par des particules de masse nulle capables de se propager à la vitesse de la lumière.
  Exemple : l'émission électromagnétique d'un bip-bip de Spoutnik et son audition sur terre sont séparés par un intervalle de type lumière.
• Intervalle de type temps : $(\Delta s)^2 > 0$
  Le temps l'emporte sur l'espace, lorsque 2 évènements sont séparés par un intervalle de type temps, il peut exister un lien causal entre les deux car l'information a eu le temps de se propager entre ces deux évènements.
  Exemple : l'explosion de la supernovae SN 1987A est reliée causalement à la publication de mon site, la meilleure preuve est que j'en parle.

Démonstration de l'invariance à partir des transformations de Lorentz

Pour simplifier les calculs, on fixe l'origine du repère sur le premier évènement et on note $E(\vec{r}, t)$ le second évènement. Dans le référentiel $R$ l'intervalle d'espace temps s'écrit : $(\Delta s)^2 = t^2 -\vec{r}^2$. En utilisant les transformations de Lorentz voyons comment se transforme cet intervalle dans $R'$ :
$(\Delta s')^2 = t'^2 -\vec{r}'^2$
$(\Delta s')^2 = { \left( \gamma \left(t - \vec{v} \cdot \vec{r} \right) \right) }^2 - { \left( \vec{r}_{\perp} + \gamma (\vec{r}_\| - \vec{v} t) \right) }^2$
$(\Delta s')^2 = \gamma^2 (t^2 + v^2 {r_\|}^2 - \not{2 v r_\| t} ) - \left( \gamma^2 ({r_\|}^2 + v^2 t^2 - \not{2 v r_\| t} ) + {r_{\perp}}^2 + \not{2 \gamma \vec{r}_{\perp} \cdot (\vec{r}_\| - \vec{v} t)} \right)$
$(\Delta s')^2 = (\gamma^2 - \gamma^2 v^2) (t^2 - {r_\|}^2) - {r_{\perp}}^2 = t^2 - \vec{r}^2 = (\Delta s)^2$

On appelle quadrivecteur, tout vecteur à 4 composantes $(\vec{a}, b)$ dont la quantité appelée "carré de la pseudo norme" $\vec{a}^2 - t^2$ est indépendante du référentiel. De la même façon que le quadrivecteur position $(\vec{r}, t)$, les composantes d'un quadrivecteur se transforment en utilisant la transformation de Lorentz.

Dilatation des durées

Dans le laboratoire, nous pouvons apprécier l'écoulement du temps au moyen d'une succession périodique d'évènements séparés par un intervalle d'espace nul et un intervalle de temps constant. Par exemple l'extrémité d'un pendule peut être repérée par les évènements suivants :
$(\vec{r_0}, t_0) , (\vec{r_0}, t_0 + \Delta T) , (\vec{r_0}, t_0 + 2 \Delta T) ...$ où $\Delta T$ indique la période d'oscillation dans le référentiel du la laboratoire. L'intervalle d'espace-temps entre deux oscillations vaut $(\Delta s)^2 = (\Delta T)^2$, il est positif donc de type temps. Dans tout autre référentiel en mouvement, la distance qui sépare deux positions périodiques du pendule n'est plus nulle, l'intervalle d'espace temps s'écrit : $(\Delta s')^2 = (\Delta T')^2 - (\Delta \vec{r}')^2$. En utilisant les propriétés d'invariance de $(\Delta s')^2 = (\Delta s)^2$, on obtient $(\Delta T')^2 - (\Delta \vec{r}')^2 = (\Delta T)^2$. Avec les transformations de Lorentz on obtient facilement que : $\Delta \vec{r} = \gamma \vec{v} \Delta T$.
On a donc : $(\Delta T')^2 = (\Delta T)^2 (1 + \gamma^2 v^2) = \gamma^2 (\Delta T)^2$, ce qui conduit à :
$\Delta T' = \gamma \Delta T > \Delta T$.

Ainsi, les horloges en mouvement tournent plus lentement que les horloges au repos. Mais n'oublions pas que le mouvement est relatif, lorsque deux observateurs s'éloignent, de la même façon que chacun perçoit l'autre plus petit par un effet de perspective, chacun verra la montre de l'autre ralentir par rapport à la sienne.

Contraction des longueurs

Voyons maintenant comment la relativité affecte la mesure des longueurs des objets en mouvement. Dans un référentiel $R_0$ nous mesurons la longueur $L_0$ d'un objet au repos dont nous repérons les extrémités $\vec{r_1}$ et $\vec{r_2}$, la longueur $L_0$ est définie par $\left| \vec{r_2} - \vec{r_1} \right|$. Pour mesurer la longueur de l'objet en mouvement depuis un référentiel $R$ il faut repérer les positions des extrémités au même instant t', la longueur est ainsi définie comme $\left| \vec{r_2}'(t') - \vec{r_1}'(t') \right|$, exprimons $\vec{r_1}'$ et $\vec{r_2}'$ en fonction de $t'$ :
$\vec{r_1}' = \vec{r_1}_{\perp} + \gamma \left( \vec{r_1}_{\|} - \vec{v} (\gamma( t' + \vec{v} . \vec{r_1}') ) \right)$,
$\vec{r_1}_{\perp}' + \vec{r_1}_{\|}' (1 + \gamma^2 \vec{v}^2) = \vec{r_1}_{\perp} + \gamma \vec{r_1}_{\|} - \gamma^2 \vec{v} t'$,
$\vec{r_1}' = \vec{r_1}_{\perp} + \frac{\vec{r_1}_{\|}}{\gamma} - \gamma^2 \vec{v} t'$,
De même pour $\vec{r_2}'$ :
$\vec{r_2}' = \vec{r_2}_{\perp} + \frac{\vec{r_2}_{\|}}{\gamma} - \gamma^2 \vec{v} t'$.

Dans $R$, nous obtenons l'expression de la longueur de l'objet :
$\left| \vec{r_2}'(t') - \vec{r_1}'(t') \right| = \left| (\vec{r_2}_{\perp} - \vec{r_1}_{\perp}) + \frac{\vec{r_2}_{\|} - \vec{r_1}_{\|}}{\gamma} \right|$
qui fait apparaitre une contraction de la longueur de l'objet dans la direction du mouvement. Remarquons que l'objet n'est pas contracté dans la direction transverse.

Finalement :
$L_{\|}' = \sqrt{1 - v^2} L_{0_{\|}}$,
$L_{\perp}' = L_{0_{\perp}}$.

Relativité de la simultanéité

Considérons deux évènements $E_1$ et $E_2$ se produisant à la même position mais décalés dans le temps, par exemple 2 coups de cloches successifs. Un observateur qui se rapproche de l'église verra le second coup de cloche plus près de lui que le premier. À l'inverse s'il s'éloigne, c'est le premier coup de cloche qui aura la position la plus proche. Notre intuition développée à partir de l'expérience quotidienne du mouvement dans l'espace nous permet facilement de comprendre la relativité de la position, à savoir que deux évènements situés à des positions identiques sont à des positions différentes dans un autre référentiel.
Le raisonnement symétrique s'applique également pour le temps, si deux évènements se produisent au même instant dans un référentiel, ils peuvent être décalés temporellement dans un autre référentiel. La simultanéité est donc relative à l'état de mouvement de l'observateur. Si $\Delta t =0$ dans $R$, on a $\Delta t' = \frac{\gamma}{c^2} v \, \Delta r_{\|}$ dans $R'$. Seule la composante longitudinale des positions des évènements n'intervient dans le décalage temporel.

Transformation des vitesses

Soit $\vec{u} = \frac{\vec{dr} }{dt}$ la vitesse d'une masse dans $R$. On cherche l'expression de $\vec{u}' = \frac{\vec{dr}' }{dt'}$ dans $R'$, avec :
$\vec{dr}' = \vec{dr}_{\perp} + \gamma (\vec{dr}_\| - \vec{v} dt)$
$dt' = \gamma (dt - v dr_\| )$.
$\vec{u}' = \frac{\vec{dr}_{\perp}} {\gamma (dt - v dr_\| )} + \frac{\vec{dr}_\| - \vec{v} dt}{dt - v dr_\| }$.
En simplifiant par $dt$ :
$\vec{u}' = \frac{\vec{u}_{\perp}} {\gamma (1 - v u_\| )} + \frac{\vec{u}_\| - \vec{v}}{1 - v u_\| }$.

Finalement :
$\vec{u}_{\perp}' = \frac{\vec{u}_{\perp}} {\gamma (1 - v u_\| )}$,
$\vec{u}_{\|}' = \frac{\vec{u}_\| - \vec{v}}{1 - v u_\| }$ .

Transformation des accélérations

$\vec{a}_{\perp}' = \frac{d}{dt'} \left( \frac{\vec{u}_{\perp}} {\gamma (1 - v u_\| )} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\vec{u}_{\perp}} {\gamma (1 - v u_\| )} \right) \frac{dt}{dt'} = \left( \frac{\vec{a}_{\perp} (1 - v u_\| )} {\gamma (1 - v u_\| )^2} + \frac{ \vec{u}_{\perp} v a_\| } {\gamma (1 - v u_\| )^2} \right) \frac{dt}{dt'}$
avec $\frac{dt'}{dt} = \frac{ \gamma (dt - v dr_\|) }{ dt} = \gamma (1 - v u_\| ) \Rightarrow \frac{dt}{dt'} = \frac{1}{\gamma (1 - v u_\| )}$

$\vec{a}_{\|}' = \frac{d}{dt} \left( \frac{\vec{u}_\|}{1 - v u_\| } \right) \frac{dt'}{dt} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\vec{v}}{1 - v u_\| } \right) \frac{dt'}{dt} = \frac{\vec{a}_{\|}} {\gamma (1 - v u_\| )^3} - \frac{\vec{a}_{\|} v^2} {\gamma (1 - v u_\| )^3}$

Finalement :
$\vec{a}_{\perp}' = \frac{\vec{a}_{\perp}} {\gamma^2 (1 - v u_\| )^2} + \frac{ \vec{u}_{\perp} v a_\| } {\gamma^2 (1 - v u_\| )^3}$
$\vec{a}_{\|}' = \frac{\vec{a}_{\|}} {\gamma^3 (1 - v u_\| )^3}$

Si $\vec{u} = \vec{0}$ :
$\vec{a}_{\perp}' = \frac{\vec{a}_{\perp}} {\gamma^2}$
$\vec{a}_{\|}' = \frac{\vec{a}_{\|}} {\gamma^3}$