Covariance des équations de Maxwell et transformation du champ électromagnétique

Les équations de Maxwell sans sources s'écrivent :

$(1) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0$
$(2) \, \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \, \vec{B}$
$(3) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$
$(4) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \partial_t \, \vec{E}$

Toutes les lois de la physique étant supposées invariantes sous une transformation de Lorentz, cela est vrai en particulier pour l'électromagnétisme. On recherche les transformations de $\vec{E}'$ et $\vec{B}'$ qui vérifient les équations de Maxwell dans un nouveau système de coordonnées :

$\vec{\nabla}' \cdot \vec{E}' = 0$
$\vec{\nabla}' \times \vec{E}' = - \partial_t' \, \vec{B}'$
$\vec{\nabla}' \cdot \vec{B}' = 0$
$\vec{\nabla}' \times \vec{B}' = \partial_t' \, \vec{E}'$

Par abus de notation, on écrira $\partial_t = \frac{\partial}{\partial t}$.
Transformation du gradient $\vec{\nabla}$ et $\partial_t$, on démontre facilement que :
$\vec{\nabla} = \gamma ( \vec{\nabla}_{\|}' - \vec{v} \, \partial_t') + \vec{\nabla}_{\perp}'$
$\partial_t = \gamma ( \partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}')$

Dans le nouveau système de coordonnées l'équation $(1)$ s'écrit :
$(1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma \, \vec{v} \cdot \partial_t' \vec{E} = 0$
On transforme $\partial_t' \vec{E} = \gamma \partial_t \vec{E} + \gamma \not{\vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E})}$ :
$(1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\|} \cdot \vec{E} - \gamma^2 \, \vec{v} \cdot \partial_t \, \vec{E} = 0$
En utilisant les équations $(1)$ et $(2)$ :
$(1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0$
On sépare les composantes transverses et longitudinales
$(1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \gamma^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E}_{\perp} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0$
$(1) \, \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \right) = 0$
Et nous obtenons finalement :
$(1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0$

Procédons maintenant aux transformations de l'équation $(2)$ :
$(2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \gamma (\partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}') \vec{E}$
$\vec{\nabla}' \vec{E}$ est le gradient d'un vecteur c'est un tenseur à 9 composantes.
$\vec{\nabla}' \vec{E} = \gamma \vec{\nabla} \vec{E} + \gamma \, \vec{v} \, \partial_t \vec{E}$
$(2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \gamma \, \partial_t' \, \vec{E}$
$(2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E}$
En utilisant l'équation $(1)$ on vérifie explicitement que $\vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = - \vec{\nabla} \times (\vec{v} \times \vec{E})$
$(2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E}$
$(2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) - \gamma^2 \vec{v} \times \partial_t' (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \vec{E}$
$(2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left(\vec{E} + \gamma^2 \vec{v} \times \vec{B} - \gamma^2 \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) \right)$
On évalue le double produit vectoriel : $\vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) = - v^2 \vec{E}_{\perp}$, et on obtient :
$(2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left( \gamma^2 (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right)$
On repère les termes transverses ($\vec{X}_{\|} \times \vec{Y}$ ou $\vec{X} \times \vec{Y}_{\|}$) pour effectuer les simplifications nécessaires :
$(2) \, \gamma^{\not{2}} \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{\nabla}_{\perp}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \not{\gamma} \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma^{\not{2}} (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right)$
Et on obtient finalement :
$(2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right)$

En procédant de façon similaire avec les équations $(3)$ et $(4)$, les équations de Maxwell prennent la forme suivante dans le nouveau système de coordonnées :
$(1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0$
$(2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right)$
$(3) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = 0$
$(4) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = -\partial_t' \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right)$

Les transformations des champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$, avec les bonnes unités :
$\vec{E}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|}$
$\vec{B}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|}$

$\left\{ \begin{array}{l} \vec{E}_{\|}' = \vec{E}_{\|} \\ \vec{E}_{\perp}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \vec{B}_{\|}' = \vec{B}_{\|} \\ \vec{B}_{\perp}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) \end{array} \right.$

Dans l'approximation des basses vitesses, $\gamma \rightarrow 1$, $\frac{v}{c^2} \rightarrow 0$, on retrouve bien la transformation galiléenne :
$\vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}$
$\vec{B}' = \vec{B}$