Relativité restreinte : l'électromagnétisme

Covariance des équations de Maxwell et transformation du champ électromagnétique

Les équations de Maxwell sans sources s'écrivent :

\( (1) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \)
\( (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \partial_t \, \vec{B} \)
\( (3) \, \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \)
\( (4) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \partial_t \, \vec{E} \)

Toutes les lois de la physique étant supposées invariantes sous une transformation de Lorentz, cela est vrai en particulier pour l'électromagnétisme. On recherche les transformations de \( \vec{E}' \) et \( \vec{B}' \) qui vérifient les équations de Maxwell dans un nouveau système de coordonnées :

\( \vec{\nabla}' \cdot \vec{E}' = 0 \)
\( \vec{\nabla}' \times \vec{E}' = - \partial_t' \, \vec{B}' \)
\( \vec{\nabla}' \cdot \vec{B}' = 0 \)
\( \vec{\nabla}' \times \vec{B}' = \partial_t' \, \vec{E}' \)

Par abus de notation, on écrira \( \partial_t = \frac{\partial}{\partial t}\).
Transformation du gradient \( \vec{\nabla} \) et \( \partial_t \), on démontre facilement que :
\( \vec{\nabla} = \gamma ( \vec{\nabla}_{\|}' - \vec{v} \, \partial_t') + \vec{\nabla}_{\perp}' \)
\( \partial_t = \gamma ( \partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}') \)

Dans le nouveau système de coordonnées l'équation \( (1) \) s'écrit :
\( (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma \, \vec{v} \cdot \partial_t' \vec{E} = 0\)
On transforme \( \partial_t' \vec{E} = \gamma \partial_t \vec{E} + \gamma \not{\vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E})} \) :
\( (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} - \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\|} \cdot \vec{E} - \gamma^2 \, \vec{v} \cdot \partial_t \, \vec{E} = 0\)
En utilisant les équations \((1)\) et \((2)\) :
\( (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E} + \vec{\nabla_{\perp}}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0\)
On sépare les composantes transverses et longitudinales
\( (1) \, \gamma \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \gamma^2 \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \vec{E}_{\perp} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0\)
\( (1) \, \vec{\nabla}_{\|}' \cdot \vec{E}_{\|} + \vec{\nabla}_{\perp}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \right) = 0\)
Et nous obtenons finalement :
\( (1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0\)

Procédons maintenant aux transformations de l'équation \( (2) \) :
\( (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \gamma (\partial_t' - \vec{v} \cdot \vec{\nabla}') \vec{E} \)
\( \vec{\nabla}' \vec{E} \) est le gradient d'un vecteur c'est un tenseur à 9 composantes.
\( \vec{\nabla}' \vec{E} = \gamma \vec{\nabla} \vec{E} + \gamma \, \vec{v} \, \partial_t \vec{E}\)
\( (2) \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 v^2 \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma^2 \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \gamma \, \partial_t' \, \vec{E} \)
\( (2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times \vec{B} + \gamma \, \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E} \)
En utilisant l'équation \( (1) \) on vérifie explicitement que \( \vec{v} \cdot (\vec{\nabla} \vec{E}) = - \vec{\nabla} \times (\vec{v} \times \vec{E}) \)
\( (2) \, \gamma \, \vec{\nabla} \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \, \vec{E} \)
\( (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) - \gamma^2 \vec{v} \times \partial_t' (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \vec{E}\)
\( (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left(\vec{E} + \gamma^2 \vec{v} \times \vec{B} - \gamma^2 \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) \right) \)
On évalue le double produit vectoriel : \( \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{E}) = - v^2 \vec{E}_{\perp} \), et on obtient :
\( (2) \, \gamma^2 \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) + \gamma \vec{\nabla}_{\perp}' \times (\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) = \partial_t' \left( \gamma^2 (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) \)
On repère les termes transverses (\( \vec{X}_{\|} \times \vec{Y}\) ou \( \vec{X} \times \vec{Y}_{\|} \)) pour effectuer les simplifications nécessaires :
\( (2) \, \gamma^{\not{2}} \vec{\nabla}_{\|}' \times (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{\nabla}_{\perp}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \not{\gamma} \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma^{\not{2}} (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) \)
Et on obtient finalement :
\( (2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) \)

En procédant de façon similaire avec les équations \((3)\) et \((4)\), les équations de Maxwell prennent la forme suivante dans le nouveau système de coordonnées :
\( (1) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = 0\)
\( (2) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = \partial_t' \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) \)
\( (3) \, \vec{\nabla}' \cdot \left(\gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) = 0\)
\( (4) \, \vec{\nabla}' \times \left( \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \right) = -\partial_t' \left( \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \right) \)

Les transformations des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\), avec les bonnes unités :
\( \vec{E}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \)
\( \vec{B}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \)

\( \left\{ \begin{array}{l} \vec{E}_{\|}' = \vec{E}_{\|} \\ \vec{E}_{\perp}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \end{array} \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{l} \vec{B}_{\|}' = \vec{B}_{\|} \\ \vec{B}_{\perp}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) \end{array} \right. \)

Dans l'approximation des basses vitesses, \( \gamma \rightarrow 1 \), \( \frac{v}{c^2} \rightarrow 0\), on retrouve bien la transformation galiléenne :
\( \vec{E}' = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \)
\( \vec{B}' = \vec{B} \)

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