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La masse relativiste

En mécanique classique, l'accélération d'une masse ne dépend que de la force qui lui est appliquée et ne dépend pas de sa vitesse, en conséquence un mobile peut être accéléré à une vitesse aussi grande que l'on veut. En mécanique relativiste, la vitesse c est infranchissable, à force constante on s'attend à une décroissance de l'accélération avec la vitesse.

Dans le référentiel du mobile accéléré, $\vec{u} = \vec{v}$ :
$\vec{a}_{\|}' = \gamma^3 \vec{a}_{\|} = \frac{d}{dt} (\gamma \vec{v}) = \frac{d \vec{v}'}{dt'}$.

Si on multiplie par la masse les deux membres de l'équation, nous obtenons l'expression de la force appliquée :
$\frac{d}{dt} (\gamma m \vec{v}) = \frac{d m \vec{v}'}{dt'}$.
Dans le référentiel de la masse en mouvement, la force appliquée tend vers la formule classique $\frac{d m \vec{v}'}{dt'}$, dans tout autre référentiel il apparait la nouvelle définition de l'impulsion : $\vec{P} = \gamma m \vec{v}$.

Transformation des impulsions

En mécanique Newtonienne, on a :
$\vec{P} = m \vec{u}$
$\vec{P'} = m (\vec{u} - \vec{v}) = m \vec{u}_{\perp} + m (\vec{u}_{\|} - \vec{v})$
d'où $\vec{P}_{\perp}' = \vec{P}_{\perp}$ et $\vec{P}_{\|}' = \vec{P}_{\|} - m \vec{v} = \vec{P}_{\|} . \vec{u}_{\|} \left(\frac{\vec{u}_{\|} - \vec{v}}{u_{\|}^2} \right)$
Voyons maintenant ce qu'il en est en mécanique relativiste, partons de la nouvelle définition de l'impulsion : $\vec{P} = \gamma(\vec{u}) m \vec{u}$.

$\vec{P}_{\perp}' = \gamma(\vec{u}') m \vec{u}_{\perp}'$
Sachant que $\vec{u}'^2 = \frac{u_{\perp}^2 + \gamma^2 (u_{\|} - v)^2 }{\gamma^2 (1- v u_{\|})^2 }$, on en déduit
$\gamma(\vec{u}') = \gamma (1 - v u_{\|}) \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$
$\vec{P}_{\perp}' = \gamma (1 - v u_{\|}) \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} m \frac{\vec{u_{\perp}}}{\gamma (1 - v u_{\|}) } = \gamma(\vec{u}) m \vec{u_{\perp}} = \vec{P_{\perp}}$

$\vec{P}_{\|}' = \gamma(\vec{u}') m \vec{u}_{\|}' = \gamma (1 - v u_{\|}) \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} m \frac{\vec{u}_\| - \vec{v}}{1 - v u_\| } = \gamma (\vec{P}_{\|} - \gamma(\vec{u}) m \vec{v} ) = \gamma \vec{P}_{\|} . \vec{u}_{\|} \left(\frac{\vec{u}_{\|} - \vec{v}}{u_{\|}^2} \right)$

Finalement :
$\vec{P}_{\perp}' = \vec{P_{\perp}}$
$\vec{P}_{\|}' = \gamma \vec{P}_{\|} . \vec{u}_{\|} \left(\frac{\vec{u}_{\|} - \vec{v}}{u_{\|}^2} \right)$

Énergie cinétique

La variation de l'énergie cinétique d'un solide est égale au travail des forces pendant le déplacement :
$dE_c = F . dl = \frac{dp}{dt} . dl = dp \, \frac{dl}{dt} = v \, dp$.
En intégrant :
$E_c = \int_0^V v \, dp = \int_0^V v \, d(\gamma m v)$.
On intègre par partie (rappel : $\int v \, du = uv - \int u \, dv$ ) :
$\int_0^V v \, d(\gamma m v) = \left[ \gamma m v^2 \right]_0^V - \int_0^V \gamma m v \, dv$.
$d(-\frac{m c^2}{\gamma} + K) = \gamma v \, dv$.
Détermination de K : $\int_0^0 \gamma m v \, dv = -\frac{m c^2}{\gamma(0)} + K = 0 \Rightarrow K = m c^2$.
Donc $\int_0^V \gamma m v \, dv = m c^2 (1 - \frac{1}{\gamma})$.
$E_c = \gamma m v^2 - m c^2 (1 - \frac{1}{\gamma}) = \frac{m c^2}{\gamma} ( \gamma^2 \frac{v^2}{c^2} + 1 - \gamma )$.
Avec $\gamma^2 \frac{v^2}{c^2} + 1 = \gamma^2$, d'où
$E_c = (\gamma - 1) m c^2 = \gamma m c^2 - m c^2$.

Pour les basses vitesses, en faisant une approximation affine de $(1 - \frac{v^2}{c^2} )^{-\frac{1}{2}} - 1 \simeq \frac{v^2}{2 c^2}$, on retrouve bien l'expression classique de l'énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2}mv^2$.

Équivalence masse - énergie

Les quadrivecteurs

Particules de masse nulle