Relativité restreinte : les forces

À ce stade nous maitrisons les aspects géométriques de la théorie de la relativité, si nous pouvons décrire la trajectoire d'une particule par ses coordonnées spatio-temporelles alors nous sommes en mesure d'en faire une description complète dans n'importe quel autre référentiel. En mécanique newtonienne, nous savons qu'une force est produite sur cette particule et nous savons comment elle réagit lorsqu'elle subit l'influence d'une force, cette connaissance nous pouvons la transposer dans tous les référentiels rectilignes et uniformes car force et accélération sont invariants sous une transformation de galilée. Les actions mécaniques nous apparaissent comme des engrenages flottant dans l'espace et qui battent la mesure accordés sur le même métronome. Telle est la conception du monde que nous avons hérité du génial Isaac Newton, elle est en accord avec notre besoin de comprendre le monde par le biais de mécanismes que nous pouvons nous représenter mentalement. Avec la théorie de la relativité, nous allons voir qu'une action mécanique peut exister dans un référentiel et pas dans un autre. Il va falloir faire force contre soi pour rejeter notre vieille intuition mécaniste, et fournir un effort considérable pour comprendre ce que nous ne pouvons facilement nous représenter.

La masse relativiste

En physique newtonienne, la masse est une quantité qui mesure la résistance à l'accélération, elle ne dépend que de la force qui lui est appliquée et pas de sa vitesse, en conséquence un mobile peut être accéléré à une vitesse aussi grande que l'on veut. En mécanique relativiste, la vitesse c de la lumière est infranchissable, à force constante on s'attend donc à une décroissance de l'accélération au fur et à mesure que la vitesse augmente. Si on s'en tient à la définition newtonienne de la masse, on s'attend naturellement à ce que la masse d'un corps augmente avec sa vitesse. Nous pouvons parfaitement construire la mécanique relativiste en partant de cette définition d'une masse qui dépend du référentiel, de ce choix arbitraire en découlera une définition précise de la force. Pour des raisons purement esthétiques, les formulations modernes préfèrent définir la masse comme une quantité invariante, c'est ce que nous ferons par la suite de ce cours. Il est important de comprendre que la définition de la masse n'a pas de conséquence expérimentale qui permettrait de valider la pertinence de ce choix. Dans son article originel "De l'électrodynamique des corps en mouvement" paru en 1905, Einstein avait défini une masse variable à deux composantes : une masse longitudinale et une masse transverse de façon à généraliser la loi de Newton de cette manière :
$\vec{F} = m_{\|} \vec{a}_{\|} + m_{\perp} \vec{a}_{\perp}$

Au régime des très faibles vitesses, la variation de la masse peut être négligée : $\gamma(v \approx 0) = 1$ d'où $\vec{a}' = \vec{a}$, de fait dans ce cas notre définition relativiste de la masse colle avec la définition Newtonienne.

Dans le référentiel du mobile accéléré, $\vec{u} = \vec{v}$ :
$\vec{a}_{\|}' = \gamma^3 \vec{a}_{\|} = \dfrac{d}{dt} (\gamma \vec{v}) = \dfrac{d \vec{v}'}{dt'}$.

Si on multiplie par la masse les deux membres de l'équation, nous obtenons l'expression de la force appliquée :
$\dfrac{d}{dt} (\gamma m \vec{v}) = \dfrac{d m \vec{v}'}{dt'}$.
Dans le référentiel de la masse en mouvement, la force appliquée tend vers la formule classique $\dfrac{d m \vec{v}'}{dt'}$, dans tout autre référentiel il apparait la nouvelle définition de l'impulsion : $\vec{P} = \gamma m \vec{v}$.

Quand nous introduirons l'algèbre des quadrivecteurs, nous verrons que la masse se définit naturellement comme la norme du quadrivecteur énergie-impulsion.

Définition de la force

Comme en mécanique classique, la force est définie comme le taux de variation de l'impulsion par rapport au temps :
$\vec{F} = \dfrac{d \vec{P}}{dt}$ avec $\vec{P} = \gamma(\vec{u}) m \vec{u}$ où $\vec{u}$ est la vitesse de la particule et m sa masse.
Développons l'expression de la force :
$\vec{F} = \dfrac{d}{dt}(\gamma(\vec{u}) m \vec{u})$
or :
$\vec{u} \dfrac{d \gamma(\vec{u}) }{dt} = \vec{u} \dfrac{d}{dt} \left((1 - \dfrac{\vec{u}^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}\right) = \dfrac{\vec{u}}{c^2} (1 - \dfrac{\vec{u}^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} (\vec{u} . \vec{a}) = \gamma(\vec{u})^3 (\vec{u} . \vec{a}) \dfrac{\vec{u}}{c^2}$
d'où :
$\vec{F} = \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a}) \dfrac{\vec{u}}{c^2} + \gamma(\vec{u}) m \vec{a}$
Il apparaît que la force n'est pas généralement colinéaire avec l'accélération, sauf dans les 3 cas suivants :
Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou si $\vec{u} \perp \vec{a}$, $\vec{F} = \gamma(\vec{u}) m \vec{a}$.
Si $\vec{u} \parallel \vec{a}$, $\vec{F} = \gamma(\vec{u})^3 m \vec{a}$.
Notons qu'il existe toujours un référentiel où la vitesse $\vec{u}$ peut avoir la direction que l'on veut, il est donc facile de se placer dans des référentiels où la colinéarité entre la force et l'accélération est vérifiée. Dans le cas pratique d'une force centrale, l'accélération du corps n'est plus centrale. En physique relativiste, cela a des conséquences en astronomie puisque la première loi de Kepler selon laquelle les mouvements des planètes autour du soleil décrivent des ellipses doit être reconsidérée (voir la précession du périhélie de Mercure).

L'impulsion relativiste

En mécanique Newtonienne, on a :
$\vec{P} = m \vec{u}$
$\vec{P'} = m (\vec{u} - \vec{v}) = m \vec{u}_{\perp} + m (\vec{u}_{\|} - \vec{v})$
d'où $\vec{P}_{\perp}' = \vec{P}_{\perp}$ et $\vec{P}_{\|}' = \vec{P}_{\|} - m \vec{v}$
Voyons maintenant ce qu'il en est en mécanique relativiste, partons de la nouvelle définition de l'impulsion : $\vec{P} = \gamma(\vec{u}) m \vec{u}$.

$\vec{P}_{\perp}' = \gamma(\vec{u}') m \vec{u}_{\perp}'$
Sachant que $\vec{u}'^2 = \dfrac{u_{\perp}^2 + \gamma^2 (u_{\|} - v)^2 }{\gamma^2 (1- v u_{\|})^2 }$, on en déduit
$\gamma(\vec{u}') = \gamma (1 - v u_{\|}) \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}$
$\vec{P}_{\perp}' = \gamma (1 - v u_{\|}) \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} m \dfrac{\vec{u_{\perp}}}{\gamma (1 - v u_{\|}) } = \gamma(\vec{u}) m \vec{u_{\perp}} = \vec{P_{\perp}}$

$\vec{P}_{\|}' = \gamma(\vec{u}') m \vec{u}_{\|}' = \gamma (1 - v u_{\|}) \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} m \dfrac{\vec{u}_\| - \vec{v}}{1 - v u_\| } = \gamma (\vec{P}_{\|} - \gamma(\vec{u}) m \vec{v} )$

Finalement :
$\vec{P}_{\perp}' = \vec{P_{\perp}}$
$\vec{P}_{\|}' = \gamma (\vec{P}_{\|} - \gamma(\vec{u}) m \vec{v} )$

Transformation des forces

Nous allons maintenant établir la transformation des forces d'un référentiel $\mathcal{R}$ vers un référentiel $\mathcal{R'}$, $\vec{F}_{\|}$ et $\vec{F}_{\perp}$ désignent les projections longitudinales et orthogonales de la force par rapport à la vitesse de translation $\vec{v}$ entre $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R'}$.
La force est appliquée sur une particule de trajectoire $\vec{r}(t)$ dans $\mathcal{R}$ :
$\vec{F}_{\perp}' = \dfrac{d \vec{P}_{\perp}'}{dt'} = \vec{F}_{\perp} \dfrac{dt}{dt'} = \vec{F}_{\perp} \dfrac{dt}{\gamma (dt - \dfrac{\vec{v}}{c^2} . \vec{dr} )}$
en simplifiant par dt
$\vec{F}_{\perp}' = \dfrac{\vec{F}_{\perp}}{\gamma (1 - \dfrac{v u_{\|}}{c^2}) }$

$\vec{F}_{\|}' = \dfrac{d \vec{P}_{\|}'}{dt'} = \dfrac{d}{dt} \left( \gamma (\vec{P}_{\|} - \gamma(\vec{u}) m \vec{v} ) \right) \dfrac{dt}{dt'} = \left( \vec{F}_{\|} - m \vec{v} \dfrac{d}{dt} (\gamma(\vec{u})) \right) \dfrac{1}{1 - v u_{\|}} = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a}) \right) \dfrac{1}{1 - v u_{\|}} = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} (\vec{F} . \vec{u}) \right) \dfrac{1}{1 - v u_{\|}} = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} (\vec{F}_{\|} . \vec{u}_{\|} + \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp} ) \right) \dfrac{1}{1 - v u_{\|}} = \vec{F}_{\|} - \dfrac{\vec{v}}{c^2} \dfrac{ \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp}}{1 - \dfrac{v u_{\|}}{c^2} }$

Finalement :
$\left\{ \begin{array}{rl} \vec{F}_{\perp}' = \dfrac{\vec{F}_{\perp}}{\gamma (1 - \dfrac{v u_{\|}}{c^2}) } \\ \vec{F}_{\|}' = \vec{F}_{\|} - \dfrac{\vec{v}}{c^2} \dfrac{ \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp}}{1 - \dfrac{v u_{\|}}{c^2} } \end{array} \right.$

Voici un paradoxe amusant sur les forces en relativité.

Force au repos et force magnétique

À l'aide de la transformation des vitesses, nous pouvons écrire l'expression complète de la force dans le référentiel $\mathcal{R'}$ en fonction de la vitesse $\vec{u}'$ du mobile :
$\vec{F}' = \gamma (1 + \vec{v} \cdot \vec{u}') \vec{F}_{\perp} + \vec{F}_{\|} - \gamma \vec{v} (\vec{F}_{\perp} \cdot \vec{u}')$
En identifiant le produit mixte $(\vec{v} \cdot \vec{u}') \vec{F}_{\perp} - \vec{v} (\vec{F}_{\perp} \cdot \vec{u}') = \vec{u}' \times (\vec{F}_{\perp} \times \vec{v} )$
nous obtenons l'expression suivante :
$\vec{F}' = \vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp} + \vec{u}' \times (\vec{F} \times \vec{v} \dfrac{\gamma}{c^2} )$
dans laquelle apparaît une force perpendiculaire et proportionnelle à la vitesse $\vec{u}'$ du mobile $\vec{u} \times (\vec{F} \times \vec{v} \dfrac{\gamma}{c^2} )$ = $\dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m}$.

D'après le principe de relativité, nous pouvons décomposer la force dans tous les référentiels :
$\vec{F} = \vec{F_0} + \dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m}$
avec
$\vec{F_0} =\vec{F}_{\|}' + \gamma \vec{F}_{\perp}'$
$\vec{F_m} =\vec{F_0} \times \dfrac{\vec{v}}{c}$
$\vec{F_0}$ est la force au repos, $\vec{F} = \vec{F_0}$ lorsque la particule est au repos.
$\vec{F_m}$ est la force magnétique, elle ne s'exerce que sur les particules en mouvement, elle produit une force supplémentaire perpendiculaire et proportionnelle à la vitesse de la particule.

Calculons les transformations de $\vec{F_0}$ et de $\vec{F_m}$:
$\vec{F} = \vec{F_0} + \dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m}$
On cherche $\vec{F_0}'$ et $\vec{F_m}'$ tels que :
$\vec{F}' = \vec{F_0}' + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times \vec{F_m}'$.

Plaçons nous dans un référentiel où ne s'exerce que la force au repos $\vec{F} = \vec{F_0}$.
Dans $\mathcal{R'}$, la force s'écrit
$\vec{F}' = \vec{F_0}' + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times \vec{F_m}'$
On remplace $\vec{F_0}'$ et $\vec{F_m}'$
$\vec{F}' = \vec{F_0}_{\|} + \gamma \vec{F_0}_{\perp} + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times ((\vec{F_0}_{\|} + \gamma \vec{F_0}_{\perp}) \times \vec{v} \dfrac{\gamma}{c} )$
Par identification des termes nous obtenons la transformation
$\left\{ \begin{array}{rl} \vec{F_0}' = \vec{F_0}_{\|} + \gamma \vec{F_O}_{\perp} \\ \vec{F_m}' = - \dfrac{\gamma}{c} \vec{v} \times \vec{F_0} \end{array} \right.$

Cette transformation est incomplète car nous avons considéré un cas particulier de force sans sa composante magnétique.
Examinons à présent le cas où ne subsiste que la force magnétique
$\vec{F} = \dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m}$
Dans $\mathcal{R'}$, la force s'écrit
$\vec{F}' = \vec{F_0}' + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times \vec{F_m}'$
On remplace $\vec{F_0}'$ et $\vec{F_m}'$
$\vec{F}' = \vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp} + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times ((\vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp}) \times \vec{v} \dfrac{\gamma}{c} )$
$\vec{F}' = {(\dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m})}_{\|} + \gamma {(\dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m})}_{\perp} + \vec{u}' \times ( (\dfrac{\vec{u}}{c} \times \vec{F_m}) \times \vec{v} \dfrac{\gamma}{c})$
En développant on finit par obtenir :
$\vec{F}' = \gamma \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_m} + \dfrac{\vec{u}'}{c} \times \left( \vec{F_m}_{\|} + \gamma \vec{F_m}_{\perp} \right)$
d'où
$\left\{ \begin{array}{rl} \vec{F_0}' = \gamma \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_m} \\ \vec{F_m}' = \vec{F_m}_{\|} + \gamma \vec{F_m}_{\perp} \end{array} \right.$

En combinant les deux résultats on obtient la transformation complète :
$\left\{ \begin{array}{rl} \vec{F_0}' = \gamma (\vec{F_0}_{\perp} + \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_m}) + \vec{F_0}_{\|} \\ \vec{F_m}' = \gamma (\vec{F_m}_{\perp} - \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_0}) + \vec{F_m}_{\|} \end{array} \right.$
que nous pouvons réécrire
$\left\{ \begin{array}{l} \vec{F_0}_{\|}' = \vec{F_0}_{\|} \\ \vec{F_0}_{\perp}' = \gamma (\vec{F_0}_{\perp} + \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_m}) \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \vec{F_m}_{\|}' = \vec{F_m}_{\|} \\ \vec{F_m}_{\perp}' = \gamma (\vec{F_m}_{\perp} - \dfrac{\vec{v}}{c} \times \vec{F_0}) \end{array} \right.$

La force de Lorentz

En électromagnétisme, la force de Lorentz décrit la force qui s'exerce sur une particule chargée q en présence d'un champ électrique $\vec{E}$ et d'un champ magnétique $\vec{B}$ :
$\vec{F} = q \vec{E} + q \vec{u} \times \vec{B} = q \vec{E} + \dfrac{\vec{u}}{c} \times q c \vec{B}$
où nous identifions la force au repos : $\vec{F_0} = q \vec{E}$ et la force magnétique : $\vec{F_m} = q c \vec{B}$.

En substituant les termes dans la transformation que nous venons d'établir, on obtient directement la transformation relativiste des champs électriques et magnétiques :
$\left\{ \begin{array}{rl} \vec{E}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|} \\ \vec{B}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \dfrac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|} \end{array} \right.$
que nous pouvons réécrire
$\left\{ \begin{array}{l} \vec{E}_{\|}' = \vec{E}_{\|} \\ \vec{E}_{\perp}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \vec{B}_{\|}' = \vec{B}_{\|} \\ \vec{B}_{\perp}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \dfrac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) \end{array} \right.$
Nous avons abouti à ce résultat sans utiliser les lois de l'électromagnétisme, cela est possible car la force de Lorentz étant une force relativiste nous sommes en mesure de la représenter dans tous les référentiels. Le champ magnétique a été inventé pour modéliser cette curieuse force magnétique qui dévie les charges en mouvement mais qui n'exerce aucune influence sur les charges au repos. Avant la formulation de la théorie de la relativité rien ne nous permettait de comprendre l'origine de ce mystérieux champ magnétique.

Champ de force d'un objet en mouvement

Soit une force distante de type Coulombienne exercée par une particule sur une autre (gravité, force électrique ou autre). Considérons une particule $P_1$ au repos à la position $\vec{r}$ qui produit une force distante $\vec{F} = K \, \vec{r}$ sur une particule $P_2$ placée à l'origine du repère d'un référentiel $R$. Que devient la force produite par $P_1$ lorsqu'elle est en mouvement de translation uniforme? Pour le savoir plaçons nous dans un référentiel $R'$ et voyons comment agit cette force sur une particule au repos $P_3$, dans ce référentiel la particule $P_1$ est donc vu en mouvement à la vitesse $\vec{u} = -\vec{v}$. Pour simplifier les calculs on fixe l'origine du repère à l'instant et à la position de croisement de $P_2$ et $P_3$.
En combinant la transformation de $\vec{F}$ :
$\vec{F}_{\|}' = \vec{F}_{\|}$
$\vec{F}_{\perp}' = \gamma \, \vec{F}_{\perp}$
et la transformation de $\vec{r}$ :
$\vec{r}_{\|} = \gamma \, \vec{r}_{\|}'$
$\vec{r}_{\perp} = \vec{r}_{\perp}'$

On obtient finalement $\vec{F}' = \gamma K \, \vec{r}'$ où l'on voit que la force exercée par une particule en mouvement est dirigée dans la direction de sa position instantanée. Ce résultat est suffisamment contre intuitif pour être souligné, en raison du caractère fini de la vitesse de propagation des interactions, on pourrait penser que la force est dirigée vers la position que la particule en mouvement occupait à un instant antérieur qui correspondrait au délai de propagation de l'interaction jusqu'à $P_3$. Nous voyons ici qu'il n'en est rien et que le champ de force crée par une particule en mouvement est radial dans tous les référentiels.