Transformation des forces

$\vec{F} = \frac{d}{dt}(\gamma(\vec{u}) m \vec{u}) = m \left( \frac{d \gamma(\vec{u})}{dt} \, \vec{u} + \gamma(\vec{u}) \, \vec{a} \right)$.
Développons $\vec{u} \frac{d \gamma(\vec{u}) }{dt} = \vec{u} \frac{d}{dt} \left((1 - \vec{u}^2)^{-\frac{1}{2}}\right) = \vec{u} (1 - \vec{u}^2)^{-\frac{3}{2}} (\vec{u} . \vec{a}) = \gamma(\vec{u})^3 (\vec{u} . \vec{a}) \vec{u}$.
Au final $\vec{F} = \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a}) \vec{u} + \gamma(\vec{u}) m \vec{a}$, où il apparaît que forces et accélérations ne sont pas généralement colinéaires.
Si $\vec{u} \parallel \vec{a}$, on obtient a $\vec{F} = \gamma(\vec{u})^3 m \vec{a}$.
Si $\vec{u} \perp \vec{a}$, on obtient a $\vec{F} = \gamma(\vec{u}) m \vec{a}$.

En appliquant la définition de la force :
$\vec{F}' = \frac{d \vec{P'}}{dt'}$
$\vec{F}_{\perp}' = \frac{d \vec{P}_{\perp}'}{dt'} = \frac{d \vec{P}_{\perp}}{dt} \frac{dt}{dt'} = \frac{\vec{F}_{\perp}}{\gamma (1 - v u_{\|}) }$

$\vec{F}_{\|}' = \frac{d \vec{P}_{\|}'}{dt'} = \frac{d}{dt} \left( \gamma (\vec{P}_{\|} - \gamma(\vec{u}) m \vec{v} ) \right) \frac{dt}{dt'} = \left( \vec{F}_{\|} - m \vec{v} \frac{d}{dt} (\gamma(\vec{u})) \right) \frac{1}{1 - v u_{\|}}$
$\vec{F}_{\|}' = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a}) \right) \frac{1}{1 - v u_{\|}}$.
$\vec{F}.\vec{u} = \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a}) \vec{u}^2 + \gamma(\vec{u}) m (\vec{u} . \vec{a}) = \gamma(\vec{u}) m (\vec{u} . \vec{a}) \left( \gamma(\vec{u})^2 \vec{u}^2 + 1\right) = \gamma(\vec{u})^3 m (\vec{u} . \vec{a})$
$\vec{F}_{\|}' = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} (\vec{F} . \vec{u}) \right) \frac{1}{1 - v u_{\|}}$
$\vec{F}_{\|}' = \left( \vec{F}_{\|} - \vec{v} (\vec{F}_{\|} . \vec{u}_{\|} + \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp} ) \right) \frac{1}{1 - v u_{\|}}$
$\vec{F}_{\|}' = \vec{F}_{\|} - \vec{v} \frac{ \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp}}{1 - v u_{\|} }$.

Finalement :
$\vec{F}_{\perp}' = \frac{\vec{F}_{\perp}}{\gamma (1 - v u_{\|}) }$
$\vec{F}_{\|}' = \vec{F}_{\|} - \vec{v} \frac{ \vec{F}_{\perp} . \vec{u}_{\perp}}{1 - v u_{\|} }$.

À l'aide de la transformation des vitesses, nous pouvons écrire l'expression complète de la force dans le référentiel $R'$ en fonction de la vitesse $\vec{u}'$ du mobile :
$\vec{F}' = \gamma (1 + \vec{v} \cdot \vec{u}') \vec{F}_{\perp} + \vec{F}_{\|} - \gamma \vec{v} (\vec{F}_{\perp} \cdot \vec{u}')$
En identifiant le produit mixte $(\vec{v} \cdot \vec{u}') \vec{F}_{\perp} - \vec{v} (\vec{F}_{\perp} \cdot \vec{u}') = \vec{u}' \times (\vec{F}_{\perp} \times \vec{v} )$
nous obtenons l'expression suivante :

$\vec{F}' = \vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp} + \vec{u}' \times (\vec{F} \times \vec{v} \frac{\gamma}{c^2} )$

dans laquelle apparaît une force perpendiculaire et proportionnelle à la vitesse $\vec{u}'$ du mobile $\vec{F}_{m} = \vec{u} \times (\vec{F} \times \vec{v} \frac{\gamma}{c^2} )$. Cet effet est connu depuis le 19ème siècle, nous savons que des particules électriquement chargées plongées dans un champ magnétique subissent une force ayant exactement cette propriété : c'est la force magnétique de Lorentz $\vec{F} = \vec{u} \times q \vec{B}$ .

Une autre façon de décomposer les forces en relativité :
$\vec{F}' = \vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp} + \vec{F}_m$

Les transformations du champ électromagnétique déduites de la force de Lorentz

$\frac{\vec{F}}{q} = \vec{E} + \vec{u} \times \vec{B}$
On cherche $\vec{E}'$ et $\vec{B}'$ tels que :
$\frac{\vec{F}'}{q} = \vec{E}' + \vec{u}' \times \vec{B}'$.

Au chapitre sur les forces, nous avons vu la transformation de la force sous cette forme où $\vec{u}'$ est la vitesse de l'objet sur lequel la force est appliquée :
$\vec{F}' = \vec{F}_{\|} + \gamma \vec{F}_{\perp} + \vec{u}' \times (\vec{F} \times \vec{v} \frac{\gamma}{c^2} )$

Si $\vec{B} = 0$, nous avons $\vec{F} = q \vec{E}$. En appliquant la transformation de la force nous obtenons dans $R'$ :
$\vec{F}' = q \left(\vec{E}_{\|} + \gamma \vec{E}_{\perp} + \vec{u}' \times (\vec{E} \times \vec{v} \frac{\gamma}{c^2} ) \right) = q (\vec{E}' + \vec{u}' \times \vec{B}')$
La transformation du champ est évidente :
$\vec{E}' = \vec{E}_{\|} + \gamma \vec{E}_{\perp}$
$\vec{B}' = - \frac{\gamma}{c^2} \vec{v} \times \vec{E}$

Voyons maintenant comment se transforment les champs avec $\vec{E}=0$ :
$\vec{F} = q \, \vec{u} \times \vec{B}$
$\frac{\vec{F}'}{q} = {(\vec{u} \times \vec{B})}_{\|} + \gamma {(\vec{u} \times \vec{B})}_{\perp} + \vec{u}' \times ( (\vec{u} \times \vec{B}) \times \vec{v} \frac{\gamma}{c^2})$
En développant on finit par obtenir :
$\frac{\vec{F}'}{q} = \gamma \vec{v} \times \vec{B} + \vec{u}' \times \left( \vec{B}_{\|} + \gamma \vec{B}_{\perp} \right)$
d'où
$\vec{E}' = \gamma \vec{v} \times \vec{B}$
$\vec{B}' = \vec{B}_{\|} + \gamma \vec{B}_{\perp}$

En combinant les deux résultats on retrouve la transformation complète :
$\vec{E}' = \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}) + \vec{E}_{\|}$
$\vec{B}' = \gamma (\vec{B}_{\perp} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}) + \vec{B}_{\|}$

Champ de force d'un objet en mouvement

Soit une force distante de type Coulombienne exercée par une particule sur une autre (gravité, force électrique ou autre). Considérons une particule $P_1$ au repos à la position $\vec{r}$ qui produit une force distante $\vec{F} = K \, \vec{r}$ sur une particule $P_2$ placée à l'origine du repère d'un référentiel $R$. Que devient la force produite par $P_1$ lorsqu'elle est en mouvement de translation uniforme? Pour le savoir plaçons nous dans un référentiel $R'$ et voyons comment agit cette force sur une particule au repos $P_3$, dans ce référentiel la particule $P_1$ est donc vu en mouvement à la vitesse $\vec{u} = -\vec{v}$. Pour simplifier les calculs on fixe l'origine du repère à l'instant et à la position de croisement de $P_2$ et $P_3$.
En combinant la transformation de $\vec{F}$ :
$\vec{F}_{\|}' = \vec{F}_{\|}$
$\vec{F}_{\perp}' = \gamma \, \vec{F}_{\perp}$
et la transformation de $\vec{r}$ :
$\vec{r}_{\|} = \gamma \, \vec{r}_{\|}'$
$\vec{r}_{\perp} = \vec{r}_{\perp}'$

On obtient finalement $\vec{F}' = \gamma K \, \vec{r}'$ où l'on voit que la force exercée par une particule en mouvement est dirigée dans la direction de sa position instantanée. Ce résultat est suffisamment contre intuitif pour être souligné, en raison du caractère fini de la vitesse de propagation des interactions, on pourrait penser que la force est dirigée vers la position que la particule en mouvement occupait à un instant antérieur qui correspondrait au délai de propagation de l'interaction jusqu'à $P_3$. Nous voyons ici qu'il n'en est rien et que le champ de force crée par une particule en mouvement est radial dans tous les référentiels.

Voici un paradoxe amusant sur les forces en relativité.

L'histoire commence dans ce petit terroir où les valeurs morales qui unissent ses habitants sont celles du travail, de l'effort et du mérite. L'économie s'y porte bien, les marchandises et les services s'échangent contre une monnaie de papier imprimée par les autorités locales. L'argent gagné est rapidement dépensé, nul ne cherche à faire des économies dans cet univers de fraternité où les lendemains sont toujours certains.

Tout allait pour le mieux dans le meilleur des paradis jusqu'au jour où le plus cupide d'entre eux, un dénommé Modaf allait se rendre coupable de faux-monnayage. À l'abri de ses frères, il décide d'imprimer un petit pactole d'argent. Ces billets se dit il sont identiques par leur apparence et par leur valeur à tous les autres billets déjà en circulation, si je les échange contre des marchandises, les nouveaux propriétaires n'y verront aucune différence et continueront à les échanger, personne ne sera donc volé. Fort de ce raisonnement Modaf s'empresse d'échanger ses billets falsifiés contre moult services que d'ordinaire il n'aurait jamais pu se payer. Cette demande supplémentaire engendre une petite augmentation de l'activité. Ceux qui ont bénéficié de cette croissance ont travaillé un peu plus, ils ont gagné à la fin de la journée plus d'argent que d'habitude.

Les jours qui suivent, Modaf se contente d'analyser la situation d'un œil attentif, à sa grande surprise alors qu'il ne fait plus tourner sa planche à faux billets, il constate que l'activité ne décroit pas. Sans s'en apercevoir les travailleurs ont augmenté en moyenne leur durée quotidienne de labeur de quelques minutes supplémentaires, c'est la contrepartie du travail à fournir pour que les billets introduits par Modaf puissent continuer à s'échanger. Satisfait de l'invisibilité de son forfait, Modaf jure que dorénavant il se préservera de tout travail : misérable activité qui n'a de valeur que sa souffrance. Jour après jour, le faussaire inonde le pays de sa fausse monnaie, chaque nouveau billet apporte sa dose invisible d'aliénation qui surcharge les mules. Mais quelques années de ce régime ont vite eu raison des mules qui se sont épuisées..., les prix ont fini par augmenter, l'épargne a fait son apparition, l'économie est rentrée en récession. Mais Modaf est de plus en plus gourmand, des clans se forment et s'accusent mutuellement de la responsabilité de leurs malheurs, on désigne des boucs émissaires, la nourriture commence à manquer.

Après la guerre on fait les comptes, les survivants découvrent que 90% de la monnaie était en réalité illicite, la fin du jeu est proche pour Modaf surtout que son train de vie suscite jalousies et suspicions... Mais quand la planche à billet de Modaf est découverte, une majorité de larbins vont le protéger du lynchage auquel il était destiné. Toute société est malheureusement en proie au fait qu'une proportion non négligeable de ses membres agissent contre leur propres intérêts au détriment de leur classe sociale (voir le syndrome du larbin pour une explication plus détaillée de ce mystère de la nature).

Le pays est divisé entre les partisans de Modaf qui le désignent déjà comme leur futur maître et les insatisfaits qui en appellent à la guillotine.
Mais le cri des larbins est plus fort que la raison, Modaf est désigné comme le banquier qui veillera sur les intérêts financiers du pays. Modaf propose un nouveau marché, désormais l'argent devra lui être emprunté sous la forme d'une dette destinée à être remboursée avec des intérêts. Chaque billet en circulation devient une dette à l'égard de Modaf, pour 10 billets empruntés les habitants devront rembourser un total de 15 billets, 10 billets seront détruits pour contrer l'inflation et les 5 billets restants iront dans la poche de Modaf en guise de rémunération.

Très rapidement, pour les besoins de l'économie les habitants empruntent un total de 1000 billets, la dette s'élève donc dès le départ à 1500 billets mais les 500 billets correspondant aux intérêts n'ont jamais été crées par Mr Modaf, la dette ne pourra donc jamais être remboursée dans sa totalité. Au fur et à mesure que les villageois commencent à rembourser leur dette, l'argent en circulation se raréfie et le besoin en nouveaux crédits devient vital pour éviter l'effondrement de l'économie. Les billets remboursés ne sont jamais détruits car ils sont immédiatement réempruntés par de nouveaux villageois en manque d'argent pour rembourser leurs crédits. Au bout de quelques années la dette atteint des proportions gigantesques et commence à mettre en péril toute l'économie du village, dans le même temps Mr Modaf est devenu immensément riche. Les villageois s'épuisent au travail pour rembourser une dette qui ne cesse d'augmenter jusqu'au jour où le village commence à rentrer en récession. Pour honorer leur dette les villageois distribuent leurs biens à Mr Modaf qui devient rapidement le propriétaire des appareils de production. Cette fois ça en est trop le village se révolte, mais le syndrome du larbin est le meilleur allié de Mr Modaf, la révolte se transforme vite en affrontements entre larbins et révolutionnaires.

Le conflit se règlera par les urnes, pour le candidat Nagy-Bocsa Mr Modaf paye trop d'impôts ce qui l'empêche d'investir efficacement dans l'économie. Et enfin les villageois ne travaillent pas assez, il faudra travailler plus pour gagner plus.

L'argumentation brillante de Nagy-Bocsa le propulse au rang de chef incontestable. Fidèle à ses promesses il ne tarde pas à placer le remboursement des intérêts de la dette en tête des priorités du village. Les emplois fonctionnarisés de l'instituteur et de l'infirmière du village sont rapidement supprimés au nom de la dette. Pour remédier à la crise les villageois aimeraient bien rehausser la valeur de leur travail, mais la plupart sont devenus les salariés d'une entreprise financée par Mr Modaf qui leur refuse toute augmentation. Alors dans un élan de générosité, le chef Nagy-Bocsa avec la complicité de Mr Modaf facilite davantage l'accès au crédit et favorise les prêts à la consommation. Le salaire qui leur est volé leur est prêté à des taux de plus en plus élevés. Comme le travail ne rapporte plus, de nombreux ouvrier se convertissent dans de nouvelles activités comme le trading et les assurances, mais très rapidement il n'y a plus rien à produire.

Quatre années de ce régime ont vite eu raison de l'idéologie de ses défenseurs, ce village qui était jadis l'un des plus prospères est maintenant menacé de liquidation et de faillite. Mr Modaf qui jusqu'alors distribuait les bons points en récompense des performances de Nagy-Bocsa, devient menaçant à l'idée d'une banqueroute qui mettrait fin à ses juteux intérêts : si un plan de rigueur ne met pas fin à la mauvaise gestion des deniers publics il baissera la note de compétence du village. Nagy-Bocsa est paniqué car il sait qu'une mauvaise note entrainera une hausse des intérêts, ce qui serait absolument catastrophique pour sa réélection prochaine. La priorité absolue est donc de conserver les bonnes notes de Modaf, y parviendra t-il ?

"Les Français sont atteint du syndrome du larbin"

"Leur président (à propos de Sarkozy), c'est Robin des bois à l'envers"

"Une majorité de Français seraient atteint par une pathologie nouvelle qui s'appelle le syndrome du larbin"

"Vous savez, les Français ne se soucient guère que du football et de la santé de Johnny Halliday"

Quand de tels propos sortent de la bouche d'un professeur Chinois interrogé sur la télévision d'État Chinoise ça fait grincer certaines dents dans l'hexagone. C'est le second volet humoristique de ce hoax dont il ne vous aura pas échappé une certaine homonymie entre le nom du professeur et un politicien Gaulois bien de chez nous.

- Bonjour, aujourd'hui dans notre rubrique d'économie, nous allons nous intéresser au déclin de la France.

- Bonjour, vénérable professeur Mehlang Chang.
Vous êtes chercheur en économie politique, après un long séjour en France vous avez écrit l'ouvrage :
« La patrie des droits de l'homme en déclin »
Pouvez-vous nous en parlez ?

-La France n'est plus que l'ombre d'elle-même, c'est une nation au bord de l'échec.

-Tout à fait.

-Le pays est dirigé par une classe politique corrompue qui pille les richesses publique pour le bénéfice d'une petite oligarchie financière. Plus grave encore, ce sabotage est organisé avec le consentement du peuple Français. Car une majorité de Français votent contre leurs propres intérêts, au profit des rentiers qui les exploitent sans contrepartie. C'est absolument incroyable. Une partie des recettes fiscales est redistribuée aux milliardaires de ce pays. Malgré une dette record et une pauvreté grandissante. Leur président, c'est Robin des bois à l'envers. Ce petit personnage est le valet des plus fortunés qui pervertissent et ruinent leur modèle social.

-Je vois, C'est une inversion des valeurs.

-Leur économie est à l'image de leurs illusions libérales, le marketing, le trading, les compagnies d'assurances ne créent globalement aucune richesse.

-C'est évident.

-C'est évident, mais ils ferment les hôpitaux, les crèches, les bureaux de poste, tout ce qui ne profite pas directement aux portefeuilles d'actions des privilégiés.

-C'est de l'autodestruction en puissance que font les médias et les politiques.
N'y a-t-il personne pour tirer la sonnette d'alarme ?

-Vous savez, les Français ne se soucient guère que du football et de la santé de Johnny Halliday.

-Il fallait au moins ça, ah ah ah !!!

-C'est vraiment pathétique. La propagande de masse et les médias ont réussi à les culpabiliser sur leurs acquis sociaux. Leurs acquis sociaux...

-Qu'ils ne doivent pourtant qu'à eux-mêmes.

-Oui alors ils se laissent dépouiller, les travailleurs français n'ont pas conscience de leur haut niveau de compétitivité et de productivité. La France est immensément riche mais pas les Français. Tout à l'heure je parlais de leur dette faramineuse. Les français ignorent qu'elle provient uniquement de la confiscation de leur droit régalien de création monétaire. La France ne peut plus créer de l'argent pour elle-même mais seulement pour les banques privées lesquelles prêtent à leur tour cet argent avec intérêts à l'Etat Français. Voilà d'où vient la dette de la France.

-Vos révélations sont inquiétantes. Les Français auraient un cerveau de cette taille-là ?

-Oui, j'en parle dans mon livre, une majorité de Français seraient atteint par une pathologie nouvelle qui s'appelle le syndrome du larbin. Un larbin prend systématiquement la défense des classes les plus favorisées au détriment de celles dont il est issu. En France, il est courant que les individus militent pour supprimer l'impôt sur la fortune alors même qu'ils ne sont pas imposables.

-Ha ha ha ha !!!

-Mais ce n'est pas tout. Les fins stratèges qui dirigent ces moutons refusent toute idée de protectionnisme. Ils préfèrent importer nos produits bas de gamme que de sauvegarder leurs emplois et leurs industries.
Ils sont dogmatiques.
Voilà pourquoi la France souffre d'un chômage de masse malgré une main d'œuvre très qualifiée. De plus leur gouvernement est en train de leur augmenter leur durée de cotisation pour la retraite, ainsi en France, moins il y a de travail, plus on doit travailler.

-C'est très logique.
Vénérable professeur Mehlang Chang, merci de nous avoir si bien résumé le mal profond qui affecte l'hexagone. La situation semble désespérée.

-Oui mais n'oublions jamais que c'est dans cette petite région du monde pendant la nuit du 4 Août 1789 que fut proclamée l'abolition des privilèges, mais que reste-t-il de cette flamme ?